1写出3×3矩阵。

2选择单行或单列。

• 我们选择示例矩阵A的第一行，圈出1 5 3。一般来说，圈出11 a12 a13。

• 3划掉第一个元素的行和列。

  查看圈出的行或列，并选择第一个元素。通过它的行和列画线。剩下四个数字。我们把它看成一个2×2矩阵。
• 在本例中，引用行是1 5 3。第一个元素在第1行和第1列。划掉第一行和第一列。把剩下的元素写成2×2矩阵：
• ?1? 5 3?2?

  4 1

  ?4?

  6 2

• 4求出2x2矩阵的行列式。

  记住，这个矩阵

  5将结果乘以你选择的元素。

  记住，当你决定划去哪一行和哪一列时，是从引用行（或列）中选择了一个元素。将这个元素乘以刚刚计算出的2x2矩阵的行列式。
• 在本例中，我们选择了a11，值为1。将它乘以-34（2x2矩阵的行列式），得到1*-34 =

  -34

  。

• 6确定答案的正负号。

  接下来，将答案乘以1或-1来得到所选元素的

  代数余子式

  。你用哪一个取决于元素在3x3矩阵中的位置。记住这个简单的正负号图来找出哪个元素是正，哪个元素是负：
• + - +- + -+ - +
• 由于我们选择了a11，用a +标记，将结果乘以1。（也就是说，不用管它）。答案还是

  -34

  。
• 或者，你可以用公式(-1)来计算正负号，其中i和j是该元素的行数和列数。

• 7对引用行或列中的第二个元素重复这个过程。

  返回到初始的3x3矩阵，包含你之前圈出的行或列。对这个元素重复相同的过程：

• 划掉这个元素所在的行和列。

  在本例中，选择元素a12（值为5）。划掉第一行（1 5 3）和第二列${\displaystyle \left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 6\end{array}\right)}$

  8对于三个元素重复这个操作。

  你还要找出一个余子式。计算引用行或列中第三项的i。在本例中，下面是计算a13余子式的简要描述：
  • 划掉第1行和第3列，得到

    9将三个结果加起来。

    这是最后一步。你已经算出来三个代数余子式，每个分别对应单行或单列中的每个元素。把它们加起来，你就得到了3x3矩阵的行列式。
    • 在本例中，行列式为

      -34

      +

      120

      +

      -12

      =

      74

      。

    方法2方法2 的 2:简化问题

    • 1选择0最多的引用行或列。

      记住，你可以选择任意行或列作为引用。不管你选哪一个，结果都是一样的。如果你选择一个带有零的行或列，只需要计算非零元素的代数余子式。原因如下：
    • 假设你选择第2行，包含元素a21、a22和23。要解决这个问题，我们要看三个不同的2x2矩阵。我们把它们叫做A21、A22和A23。
    • 3x3矩阵的行列式是a21|A21| - a22|A22| + a23|A23|。
    • 如果a22和a23都为0，公式就变成a21|A21| - 0*|A22| + 0*|A23| = a21|A21| - 0 + 0 = a21|A21|。现在我们只需计算一个元素的代数余子式。

    • 2利用行加法使矩阵更简单。

      如果你把一行的值加到另一行，矩阵的行列式不变。列也是如此。你可以重复这样操作，或者在加之前将值乘以一个常数，从而使矩阵有尽可能多的0。这样可以节省很多时间。
    • 例如，假设你有一个3×3的矩阵：

      3学习三角矩阵的快捷方法。

      在这些特殊情况下，行列式就是主对角线上的元素的乘积，从左上角的a11到右下角的a33。我们讨论的仍然是3x3矩阵，但是“三角”矩阵有非零值的特殊模式：
      • 上三角矩阵：所有非零元素都在主对角线上或主对角线之上。下面全部是0。
      • 下三角矩阵：所有非零元素都在主对角上或主对角之下。
      • 对角矩阵：所有非零元素都在主对角上。（上述矩阵的一个子集）

      注意事项

      • 如果有一行或列的所有元素都是0，那么这个矩阵的行列式就是0。
      • 这种方法可以扩展到任何大小的方阵。例如，如果将这种方法用于4x4矩阵，“划掉”后将得到一个3x3矩阵，你可以按照上面的描述计算行列式。但是提醒一句，手动计算非常繁琐！